Esercitazione di Laboratorio 1

In aula di informatica – 1. Geogebra e Derive

I – Funzioni



Traccia il grafico delle funzioni esponenziali
1) y = (sqrt(2))^x ; 2) y = (1/sqrt(2))^x ;
a) Confrontale con il grafico della funzione y = 2^x. □
b) Descrivi il comportamento delle funzioni all'infinito □

Traccia il grafico delle funzioni logaritmiche
3) y = log_2(2-x) ; 4) y = log_2(3-x) ;
a) Indica il dominio delle funzioni □
b) Trova le equazioni degli asintoti □

Determina i seguenti limiti esaminando il grafico delle funzioni

5) lim,x->2,(x-2)/(x^2-4) ; 6) lim,x->inf,(3x-x^3)/(x^2+2x-1) ; □ □
7) lim,x->+inf,(x^2+1)/(2x-x^2) ; 8) lim,x->1-,x^2/sqrt(1-x) ; □ □
9) lim,x->0,sin(2x)/(3x) ; 10) lim,x->-1-, log_3(x^2-1) ; □ □

Trova il dominio delle funzioni basandoti anche sul grafico

11) y = 1/sqrt(1+x) ; 12) y = 1/log_2(x) □ □

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Problema con l'iperbole

In Yahoo! Answer ho trovato questo problema :

Di un'iperbole riferita agli assi, un fuoco è il punto F1(5;0) ed un vertice è il punto A(4;0). Quale è l'eq. dell'iperbole? Condotta la tangente all'iperbole nel suo punto B di ascissa 20/3 e di ordinata positiva, si intersechi tale tangente con la perpendicolare alla tangente passante per F1. Detta H l'intersezione, si verifichi che OH equivalente OA essendo O l'origine degli assi coordinati.

http://it.answers.yahoo.com/question...

Ecco la mia risposta :

Il vertice A giace sull'asse x quindi l'iperbole è del primo tipo,
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 con a = 4 ;
Per trovare b usa la relazione a^2+b^2 = c^2, dove c = 5 è la posizione del fuoco. Risulta b = 3 (a, b e c formano una terna pitagorica).
x^2/16 - y^2/9 = 1 ;
B ha coordinate x=20/3 (data) e y=4 (si ricava sostituendo nell'equazione).
B(20/3;4) ;
Per trovare la tangente in modo rapido, usa le formule dello sdoppiamento
xxB/16 - yyB/9 = 1 ;
5/12 x - 4/9 y = 1 ; equazione della retta tangente.
m = 15/16 è la pendenza della retta ;
m' = -16/15 la pendenza della perpendicolare...
y = -16/15 (x-5) la retta per F ;
Trova l'intersezione H fra le due rette, risolvi il sistema :
{ 5/12 x - 4/9 y = 1
{ y = -16/15 (x-5)
H(1820/481,624/481) -> (140/37,48/37) ;
OH = rad((140/37)^2+(48/37)^2) -> 4 ;
OA = 4 ; è immediato.

Problema con la circonferenza

In Yahoo! Answer ho trovato questo problema ;

Data la circonferenza di equazione x^2+y^2-2x+4y=0 determinare le equazioni delle secanti,passanti per O(0;0) che determinano con la circonferenza delle corde quadruple della loro distanza dal centro... Risultato di una secante mi porta solo qst : 3x+4y=0

http://it.answers.yahoo.com/question...

Ecco la mia risposta :

Considera un fascio di rette passanti per l'origine.
Possiamo scriverlo così : y - mx = 0 ;
Calcola il raggio della circonferenza, r = rad5.
Puoi trovarlo anche osservando che la curva passa per l'origine e quindi la distanza del centro C(1;-2) dall'origine è proprio il raggio.
La corda deve essere 4 volte la distanza fra il centro e la retta, allora, posta uguale ad x la distanza deve essere x^2 + (2x)^2 = r^2 -> risulta x = 1. La distanza è 1 e la corda ha lunghezza 4.
Imponiamo che le rette del fascio distino 1 dal centro della circonferenza...
|-2-m|/rad(1+m^2) = 1 ;
|-2-m| = rad(1+m^2) ;
m^2+4m+4 = 1+m^2 ;
risulta m = -3/4
una secante è y + 3/4x = 0 eqv a 3x+4y = 0.
Ce ne dovrebbe essere un'altra...
Vediamo...
Dovresti costruire il grafico e renderti conto che l'altra secante è costituita dall'asse y.
Infatti l'asse y dista proprio 1 dal dentro della circonferenza e stacca su essa una corda di lunghezza 4.
* * *
Il motivo per cui la seconda secante non viene rilevata dal calcolo è che il fascio di rette che abbiamo considerato, rappresentato dall'equazione y = mx, è incompleto vale a dire che manca di una retta e questa retta è proprio l'asse y, la seconda secante.

Problema con la parabola

In Yahoo! Answer ho trovato questo problema :

Riuscireste a risolvere questo problema in cui bisogna trovare l'equazione della parabola dove si ha F(-2; -1) e d:y= -3 ?

http://it.answers.yahoo.com/question...

Ecco la mia risposta :

Se hai il Fuoco e la Direttrice della parabola allora puoi determinare la posizione del Vertice V :
yv = (yf+yd)/2 ; xv = xf .
V(-2;-2).

Per trovare la concavità a della parabola, usa la formuletta
a = 1/(4p) dove p è la distanza (orientata) VF.
F sta più su di V quindi a è positiva.
p = yf - yv -> 1 ;
a = 1/4.
Data la concavità e dato il vertice, l'equazione della parabola è data da
y - yv = a (x-xv)^2 ;

y+2 = 1/4 (x+2)^2 ;
y = -2 + 1/4 x^2 + x + 1
y = 1/4 x^2 + x - 1