Volume di un solido di rotazione intorno all'asse y

Per calcolare il volume di un solido generato dalla rotazione intorno all'asse x di un tratto del grafico di una funzione y = f(x) si usa la nota formula
V = pi Int(f(x)^2 dx), definito nell'intervallo a, b.
Ma come si fa a calcolare il volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse y dello stesso tratto di curva?
Se è possibile trovare la formula dell'inversa della funzione, allora basta scambiare x con y e seguire il procedimento noto.
Ma se non si riesce a trovare la formula dell'inversa come si può fare?
Se la funzione è invertibile (anche se non si riesce a trovare la formula), basterà fare in modo che l'integrale si debba calcolare usando la funzione data anziché l'inversa e questo si può ottenere considerando il cilindro che contiene il solido e sottraendo il volume eccedente.
Per fissare le idee, consideriamo un esempio semplice.
Vogliamo calcolare il volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse y del grafico della funzione y = x^2, limitato dall'asse x e dalla retta y = 16.
Normalmente, si trova l'inversa della funzione, x = sqrt(y) e si calcola l'integrale :
V = pi Int((sqrt(y))^2dy definito fra y=0 e y=16 ; risulta 128pi.
Vediamo come si calcola lo stesso volume con il procedimento senza il calcolo della funzione inversa. Osserviamo che la funzione è invertibile se prendiamo x non negative. All'intervallo di ordinate fra 0 e 16 corrisponde l'intervallo di ascisse fra 0 e 4.
Il volume del cilindro che contiene il solido ha il raggio di base uguale a 4 e l'altezza uguale a 16. Questo volume, indichiamolo con Vc, risulta 256pi.
Il volume eccedente è l'integrale degli elementi di volume costituiti da cilindri cavi con raggio di base x e altezza y e spessore dx :
Ve = Int(2pix*ydx) definito fra 0 e 4 ;
Ve = 2pi Int(x^3dx) definito fra 0 e 4 ;
Ve = 2pi (x^4/4) fra 0 e 4 ;
Risulta Ve = 128pi.
Dalla sottrazione Vc - Ve risulta il volume cercato V = 128pi.

Nell'immagine sotto è riportato un esempio in cui conviene seguire questo procedimento dato che non è possibile trovare la formula per la funzione inversa.

L'esempio mi è stato suggerito da una domanda alla quale ho risposto in Answer.

http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20120609001728AAWciCI

Lezione di Geometria

Durante una delle ripetizioni di Geometria mi sono imbattuto in questo problema di dimostrazione. In un trapezio ABCD le diagonali AC e BD sono congruenti. Dimostra che il trapezio è isoscele.
Le ipotesi sono:
H1. ABCD è isoscele ;
H2. AC è congruente a BD ;
La tesi è: T. ABCD è isoscele.

La figura disegnata in Geogebra

Per dimostrarlo, proviamo a considerare i triangoli CAB e DBA. Essi hanno AB in comune BD e AC congruenti per ipotesi. Ci vorrebbe la congruenza degli angoli compresi fra i lati considerati, ma non l'abbiamo. Costruiamo allora CE parallelo a DB, con E sul prolungamento di AB. In tal modo, CDBE è un parallelogrammo. Consideriamo il triangolo ACE: esso è isoscele perché CE è congruente a DB per il fatto che sono lati opposti in un parallelogrammo ed è congruente ac AC perché DB e AC sono congruenti per ipotesi. Quindi Gli angoli alla base di ACE sono congruenti ed essendo congruenti DBA e CEA perché corrispondenti sono congruenti DBA e CAB, gli angoli che servivano nella dimostrazione della congruenza dei triangoli ABD e CAB. Dalla congruenza di tali triangoli risulta in particolare che i lati AD e CB sono congruenti e tanto basta per dimostrare che il trapezio è isoscele essendo AD e CB i suoi lati obliqui (cvd).
Si può dimostrare la tesi anche in questo modo: tracciamo le altezze DK e CH e consideriamo i triangoli rettangoli DKB e CHA. Essi sono congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (un cateto e l'ipotenusa).

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