Lezione di Geometria

Durante una delle ripetizioni di Geometria mi sono imbattuto in questo problema di dimostrazione. In un trapezio ABCD le diagonali AC e BD sono congruenti. Dimostra che il trapezio è isoscele.
Le ipotesi sono:
H1. ABCD è isoscele ;
H2. AC è congruente a BD ;
La tesi è: T. ABCD è isoscele.

La figura disegnata in Geogebra

Per dimostrarlo, proviamo a considerare i triangoli CAB e DBA. Essi hanno AB in comune BD e AC congruenti per ipotesi. Ci vorrebbe la congruenza degli angoli compresi fra i lati considerati, ma non l'abbiamo. Costruiamo allora CE parallelo a DB, con E sul prolungamento di AB. In tal modo, CDBE è un parallelogrammo. Consideriamo il triangolo ACE: esso è isoscele perché CE è congruente a DB per il fatto che sono lati opposti in un parallelogrammo ed è congruente ac AC perché DB e AC sono congruenti per ipotesi. Quindi Gli angoli alla base di ACE sono congruenti ed essendo congruenti DBA e CEA perché corrispondenti sono congruenti DBA e CAB, gli angoli che servivano nella dimostrazione della congruenza dei triangoli ABD e CAB. Dalla congruenza di tali triangoli risulta in particolare che i lati AD e CB sono congruenti e tanto basta per dimostrare che il trapezio è isoscele essendo AD e CB i suoi lati obliqui (cvd).
Si può dimostrare la tesi anche in questo modo: tracciamo le altezze DK e CH e consideriamo i triangoli rettangoli DKB e CHA. Essi sono congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (un cateto e l'ipotenusa).

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