Disequazioni con il valore assoluto

Il valore assoluto di x si indica con
|x|
e vale x se x è maggiore o uguale a zero, -x se x è minore di zero.
|x| = x ; x ≥ 0
|x| = -x ; x < 0.
Un discorso analogo vale se al posto di x c'è f(x).
|x| = 0 se, e solo se, x = 0.
|f(x)| = 0 se, e solo se, f(x) = 0.
Se k è una costante positiva,
|x| = k se x = -k v x = k.
|x| = -k mai, cioè l'equazione non ha soluzione.

Disequazioni elementari col valore assoluto

|x| > 0 per ogni x, tranne x = 0.
|f(x)| > 0 equivale alla disequazione f(x) ≠ 0.
|x| < 0 nessuna soluzione.
|f(x)| < 0 nessuna soluzione.

Se k è una costante positiva,
|x| > k se x < -k v x > k (valori esterni)
|x| < k se -k < x < k (valori interni)
|x| > -k per ogni x
|x| < -k per nessuna x
|f(x)| > k se f(x) < -k v f(x) > k (valori esterni)
|f(x)| < k se -k < f(x) < k (valori interni)
|f(x)| > -k per ogni f(x), cioè f(x) appartiene ad R
|f(x)| < -k per nessuna f(x).

Disequazioni con x all'esterno del valore assoluto

Le cose si complicano se il valore assoluto di una f(x) deve essere maggiore, o minore, di una g(x) non costante.
|f(x)| > g(x)
In tal caso si studia la disequazione analizzandola per casi.
La disequazione data equivale all'unione di sistemi
f(x) ≥ 0 & f(x) > g(x)
v
f(x) < 0 & -f(x) > g(x)
Mentre la disequazione
|f(x)| < g(x)
Equivale all'unione di sistemi
f(x) ≥ 0 & f(x) < g(x)
v
f(x) < 0 & -f(x) < g(x)