Esercitazione di Laboratorio 1

In aula di informatica – 1. Geogebra e Derive

I – Funzioni



Traccia il grafico delle funzioni esponenziali
1) y = (sqrt(2))^x ; 2) y = (1/sqrt(2))^x ;
a) Confrontale con il grafico della funzione y = 2^x. □
b) Descrivi il comportamento delle funzioni all'infinito □

Traccia il grafico delle funzioni logaritmiche
3) y = log_2(2-x) ; 4) y = log_2(3-x) ;
a) Indica il dominio delle funzioni □
b) Trova le equazioni degli asintoti □

Determina i seguenti limiti esaminando il grafico delle funzioni

5) lim,x->2,(x-2)/(x^2-4) ; 6) lim,x->inf,(3x-x^3)/(x^2+2x-1) ; □ □
7) lim,x->+inf,(x^2+1)/(2x-x^2) ; 8) lim,x->1-,x^2/sqrt(1-x) ; □ □
9) lim,x->0,sin(2x)/(3x) ; 10) lim,x->-1-, log_3(x^2-1) ; □ □

Trova il dominio delle funzioni basandoti anche sul grafico

11) y = 1/sqrt(1+x) ; 12) y = 1/log_2(x) □ □

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Problema con l'iperbole

In Yahoo! Answer ho trovato questo problema :

Di un'iperbole riferita agli assi, un fuoco è il punto F1(5;0) ed un vertice è il punto A(4;0). Quale è l'eq. dell'iperbole? Condotta la tangente all'iperbole nel suo punto B di ascissa 20/3 e di ordinata positiva, si intersechi tale tangente con la perpendicolare alla tangente passante per F1. Detta H l'intersezione, si verifichi che OH equivalente OA essendo O l'origine degli assi coordinati.

http://it.answers.yahoo.com/question...

Ecco la mia risposta :

Il vertice A giace sull'asse x quindi l'iperbole è del primo tipo,
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 con a = 4 ;
Per trovare b usa la relazione a^2+b^2 = c^2, dove c = 5 è la posizione del fuoco. Risulta b = 3 (a, b e c formano una terna pitagorica).
x^2/16 - y^2/9 = 1 ;
B ha coordinate x=20/3 (data) e y=4 (si ricava sostituendo nell'equazione).
B(20/3;4) ;
Per trovare la tangente in modo rapido, usa le formule dello sdoppiamento
xxB/16 - yyB/9 = 1 ;
5/12 x - 4/9 y = 1 ; equazione della retta tangente.
m = 15/16 è la pendenza della retta ;
m' = -16/15 la pendenza della perpendicolare...
y = -16/15 (x-5) la retta per F ;
Trova l'intersezione H fra le due rette, risolvi il sistema :
{ 5/12 x - 4/9 y = 1
{ y = -16/15 (x-5)
H(1820/481,624/481) -> (140/37,48/37) ;
OH = rad((140/37)^2+(48/37)^2) -> 4 ;
OA = 4 ; è immediato.

Problema con la circonferenza

In Yahoo! Answer ho trovato questo problema ;

Data la circonferenza di equazione x^2+y^2-2x+4y=0 determinare le equazioni delle secanti,passanti per O(0;0) che determinano con la circonferenza delle corde quadruple della loro distanza dal centro... Risultato di una secante mi porta solo qst : 3x+4y=0

http://it.answers.yahoo.com/question...

Ecco la mia risposta :

Considera un fascio di rette passanti per l'origine.
Possiamo scriverlo così : y - mx = 0 ;
Calcola il raggio della circonferenza, r = rad5.
Puoi trovarlo anche osservando che la curva passa per l'origine e quindi la distanza del centro C(1;-2) dall'origine è proprio il raggio.
La corda deve essere 4 volte la distanza fra il centro e la retta, allora, posta uguale ad x la distanza deve essere x^2 + (2x)^2 = r^2 -> risulta x = 1. La distanza è 1 e la corda ha lunghezza 4.
Imponiamo che le rette del fascio distino 1 dal centro della circonferenza...
|-2-m|/rad(1+m^2) = 1 ;
|-2-m| = rad(1+m^2) ;
m^2+4m+4 = 1+m^2 ;
risulta m = -3/4
una secante è y + 3/4x = 0 eqv a 3x+4y = 0.
Ce ne dovrebbe essere un'altra...
Vediamo...
Dovresti costruire il grafico e renderti conto che l'altra secante è costituita dall'asse y.
Infatti l'asse y dista proprio 1 dal dentro della circonferenza e stacca su essa una corda di lunghezza 4.
* * *
Il motivo per cui la seconda secante non viene rilevata dal calcolo è che il fascio di rette che abbiamo considerato, rappresentato dall'equazione y = mx, è incompleto vale a dire che manca di una retta e questa retta è proprio l'asse y, la seconda secante.

Problema con la parabola

In Yahoo! Answer ho trovato questo problema :

Riuscireste a risolvere questo problema in cui bisogna trovare l'equazione della parabola dove si ha F(-2; -1) e d:y= -3 ?

http://it.answers.yahoo.com/question...

Ecco la mia risposta :

Se hai il Fuoco e la Direttrice della parabola allora puoi determinare la posizione del Vertice V :
yv = (yf+yd)/2 ; xv = xf .
V(-2;-2).

Per trovare la concavità a della parabola, usa la formuletta
a = 1/(4p) dove p è la distanza (orientata) VF.
F sta più su di V quindi a è positiva.
p = yf - yv -> 1 ;
a = 1/4.
Data la concavità e dato il vertice, l'equazione della parabola è data da
y - yv = a (x-xv)^2 ;

y+2 = 1/4 (x+2)^2 ;
y = -2 + 1/4 x^2 + x + 1
y = 1/4 x^2 + x - 1

Disequazioni con il valore assoluto

Il valore assoluto di x si indica con
|x|
e vale x se x è maggiore o uguale a zero, -x se x è minore di zero.
|x| = x ; x ≥ 0
|x| = -x ; x < 0.
Un discorso analogo vale se al posto di x c'è f(x).
|x| = 0 se, e solo se, x = 0.
|f(x)| = 0 se, e solo se, f(x) = 0.
Se k è una costante positiva,
|x| = k se x = -k v x = k.
|x| = -k mai, cioè l'equazione non ha soluzione.

Disequazioni elementari col valore assoluto

|x| > 0 per ogni x, tranne x = 0.
|f(x)| > 0 equivale alla disequazione f(x) ≠ 0.
|x| < 0 nessuna soluzione.
|f(x)| < 0 nessuna soluzione.

Se k è una costante positiva,
|x| > k se x < -k v x > k (valori esterni)
|x| < k se -k < x < k (valori interni)
|x| > -k per ogni x
|x| < -k per nessuna x
|f(x)| > k se f(x) < -k v f(x) > k (valori esterni)
|f(x)| < k se -k < f(x) < k (valori interni)
|f(x)| > -k per ogni f(x), cioè f(x) appartiene ad R
|f(x)| < -k per nessuna f(x).

Disequazioni con x all'esterno del valore assoluto

Le cose si complicano se il valore assoluto di una f(x) deve essere maggiore, o minore, di una g(x) non costante.
|f(x)| > g(x)
In tal caso si studia la disequazione analizzandola per casi.
La disequazione data equivale all'unione di sistemi
f(x) ≥ 0 & f(x) > g(x)
v
f(x) < 0 & -f(x) > g(x)
Mentre la disequazione
|f(x)| < g(x)
Equivale all'unione di sistemi
f(x) ≥ 0 & f(x) < g(x)
v
f(x) < 0 & -f(x) < g(x)

Area di un triangolo sul piano cartesiano

Rispondo a una domanda che ho trovato in Answer:

http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=...

Utente: Vale

area triangolo? help?

Calcolare area del triangolo sapendo i vertici
A(2;2); B(6;-1); C(-4;3).
Per trovare la base ho fatto la distanza tra due punti tra A e B e viene 5 adesso per l'altezza cm devo fare??


La mia risposta

Calcola la distanza del terzo punto dalla retta AB.

Trova l'equazione della retta AB, poi applica la formula
d = |a xc + b yc + c| / sqrt(a^2+b^2)
sqrt=radice.

retta AB:
y - 2 = -3/4 (x - 2) --> 3x + 4y - 14 = 0

altezza.
h = | 3x + 4y - 14 | / sqrt(9+16)
h = | 3(-4) + 4(3) - 14 | / 5
h= 14/5

Fra gli utenti di Answer ce ne sono di scorretti che copiano le risposte di altri, e in questa occasione è successo ancora. Per evitare che questi approfittino, ho volutamente modificato le formule in modo che venissero sbagliate e ho riportato quelle corrette qui.

L'utente che ha fatto la domanda, Vale, non permette mail e non permette messenger, perciò non ho potuto contattarla.

La risposta si presta ad ulteriori sviluppi...

L'area è 7, infatti la base che Vale aveva già trovato, è 5 perciò: A = (14/5 * 5)/2.
C'è un modo più semplice per calcolarla direttamente nel Piano cartesiano, e verificare che i nostri calcoli siano corretti...

A presto!

Come si calcola la radice quadrata?

Il metodo che si usava una volta

Oggi, in Answer, è stata posta questa domanda:

Sapreste risolvere questa radice quadrata ? ( con lo svolgimento!!)
√22356,1 (il risultato è 149,5).

http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=...

Uno ha risposto "start -> programmi -> accessori -> calcolatrice", ed ha riportato il risultato del calcolo. Un'altra ha trovato il risultato per tentativi, usando la calcolatrice.

Oggi come oggi, trovare una radice quadrata non è un problema. Il modo migliore, per uno che sta navigando in Internet è quello di digitare "sqrt(22356.1)" nella barra di ricerca di google e subito vien fuori il risultato, senza neanche aprire la pagina di google!

In realtà, chi aveva posto la domanda voleva il procedimento di calcolo come si faceva una volta, tanti anni fa. Quando ero alle medie, si usava ancora... non c'erano le calcolatrici come quelle di oggi. C'erano quelle meccaniche, facevano un rumore infernale e non calcolavano la radice!

Il procedimento è il seguente: dividiamo il numero di cui calcolare la radice in gruppi di due cifre a partire dalla virgola:

2 23 56,10 |

calcoliamo la radice per difetto del primo gruppo di cifre, partendo da sinistra. Nel nostro caso, 2. La radice, per difetto è 1 e la riportiamo nella parte destra dello schema:

2 23 56,10 | 1

Andiamo a capo, riportiamo in colonna il quadrato del numero trovato 1 x 1 = 1 :

1

Facciamo la differenza e abbassiamo un altro gruppo di cifre:

1 23

Prendiamo il numero in alto a destra dello schema e raddoppiamolo, 1 diventa 2.

Aggiungiamo una cifra e moltiplichiamo per la stessa cifra in modo da starci nel numero che abbiamo riportato in colonna (1 23)

La cifra che stiamo cercando è 4: 24 x 4 = 96. Il 4 va sistemato in alto a destra dello schema.

2 23 56,10 | 14

Riportiamo in colonna il risultato, facciamo la differenza e abbassiamo un altro gruppo di cifre:

0 96

  27 56.

Prendiamo il numero in alto a destra dello schema e raddoppiamolo, 14 diventa 28.
Aggiungiamo una cifra e moltiplichiamo per la stessa cifra in modo da starci nel numero che abbiamo riportato in colonna...

Insomma ripetiamo il procedimento finché non troviamo un risultato esatto o un risultato approssimato fino alla cifra desiderata.

Ci fermiamo alla prima cifra decimale: il risultato è 149,5...

Non è un valore esatto, il procedimento poteva ancora continuare.

Ciao a tutti!

u prof